Phần
I - Lược giải về thuyết Tương Đối
Hẹp
Ai trong chúng ta đi máy bay, sau khi máy đã
vút lên cao để bay đều đều, mà có thể cảm thấy mình di chuyển với vận tốc
khoảng ngàn cây số trong một giờ? Hơn bốn trăm năm trước đây Galileo Galilei
cũng đưa ra một ví dụ tương tự mở đầu cho nguyên
lý tương đối mang tên ông:
trong hầm kín của một chiếc tàu thủy di chuyển thẳng và đều đặn
(vectơ
vận tốc cố định, không thay đổi với thời gian), ta hãy quan sát những
con bướm bay và những giọt nước tí tách rơi. Nay tàu đứng yên, cách thức
bướm bay và nước rơi vẫn như khi tàu di chuyển, chẳng có gì thay đổi. Rồi
tàu lại di chuyển nhưng
với vận tốc và chiều hướng cố định khác, bướm vẫn bay và nước vẫn rơi hệt
như trước. Nói cách khác: những định luật vật lý miêu tả sự vận hành của các
hiện tượng tự nhiên (bướm bay, nước rơi) không
thay đổi trên tàu di chuyển
thẳng và đều, kể cả tàu dừng ở bến. Người ở trong tàu nếu chỉ quan sát đo
lường những hiện tượng trong tàu mà không tiếp xúc với bên ngoài để so sánh
thì chẳng sao biết là tàu đứng hay đi, và đi với vận tốc nào, chiều hướng
nào. Nói cách khác, di động đều đặn chỉ là chuyện tương đối, chẳng sao phân
biệt bến hay tàu cái nào đứng yên, cái nào chuyển vận.
Nguyên lý tương đối được Galilei tóm tắt trong
một câu ngắn gọn ‘’di chuyển đều
đặn cũng như không’’, hàm ý
là định luật cơ học không thay đổi dạng trong các hệ quy chiếu quán tính[1],
ví dụ của hai hệ quy chiếu quán tính: K bất động còn
K’ di chuyển đều đặn
so với K. Vì chuyển động của một vật (kể cả ánh sáng) là sự thay đổi
vị trí không gian của vật đó theo thời gian, nên ta gọi tọa độ của đa tạp
không- thời gian bốn chiều trong K là x, y, z, t (toạ độ của không
gian ba chiều là x, y, z và của thời gian là t) còn toạ độ trong K’
là x’, y’, z’, t’. Đa tạp đó có tung độ là trục thời gian t, còn hoành độ là
không gian ba chiều với 3 trục Ox, Oy, Oz. Phương trình diễn tả sự vận hành
của cùng một sự kiện vật lý trong K và K’
đều phải có chung một dạng: f(x, y, z, t) = f (x’, y’, z’, t’), hàm số f chỉ
định một định luật vật lý nào đó.
Khi nguyên lý này áp dụng cho hiện tượng
điện-từ để diễn tả vận tốc ánh sáng c không
thay đổi trong mọi hệ quy chiếu quán tính thì hàm f(x, y, z, t) mang dạng x²
+ y² + z² – (ct)². Bất kỳ lúc nào và ở đâu cũng tồn tại một đại lượng
s² º x² + y² + z² – (ct)²
bất biến và = 0 vì c = r/t với r² = x² + y² + z².
Đồ thị của phương trình s²
º x² + y² + z² -
(ct)² trong đa tạp bốn chiều không-thời gian là một cái nón ánh
sáng[2]
(light cone) và biểu thức x² + y² + z² – (ct)² đóng vai trò cực
kỳ quan trọng trong sự khám phá thuyết tương đối hẹp và rộng như ta sẽ thấy.
I- Không cần ether để truyền đi sóng
điện-từ
Dùng kết quả thực nghiệm
này, Einstein bèn chấp nhận nguyên lý tương đối áp dụng cho hiện
tượng điện-từ như một tiền đề, theo đó vận tốc ánh sáng c (khoảng 300
ngàn km/s) bao giờ cũng bằng nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính,
như vậy giả thuyết chất liệu ether tràn ngập vũ trụ không cần thiết nữa.
Dùng tiền đề này, ông suy diễn những hệ quả và đề xuất cũng như tiên đoán
những hiện tượng kiểm soát đo lường được. Tiếp cận cách tân như vậy khởi đầu
từ Galilei - trong đó suy luận, phê phán bằng lý tính và kiểm chứng bằng
thực nghiệm đóng vai trò chủ đạo - là bài học sâu xa cho hậu thế và tiếp tục
làm kim chỉ nam cho tiến trình nghiên cứu sáng tạo của khoa học ngày nay.
Phương pháp giải đáp của Einstein khác hẳn cách thức của Hendrik Lorentz và
Henri Poincaré vì hai vị (và nhiều nhà vật lý khác) đều đề xuất một vài giả
thuyết về lực tác động lên cách vận hành của vật chất để tìm cách chứng minh
ngược lại là hiện tượng điện-từ tuân thủ nguyên lý tương đối.
Tuy hai cách tiếp cận trái ngược chiều nhau nhưng đều có chung một
phương trình để diễn tả vận tốc ánh sáng c trong hai hệ quy chiếu
quán tính K và K ‘ phải như
nhau, c = r/t = r’/t’ với r² = x² + y² + z², r’² = x’² + y’² + z’²:
II-
Hoán chuyển Lorentz của không-thời gian và Cơ học tương đối
tính
Nếu w là vận tốc đo trên tàu của bất kỳ một vật nào, còn v là vận tốc
của tàu chạy so với bến đứng yên, thì vận tốc của vật đó đo trên bến là w
± v mà cơ học cổ điển đương nhiên chấp nhận. Einstein nhận thấy luật này
chỉ gần đúng và ông tìm ra công thức (w ± v)/(1 ± wv/c2)
thay thế nó[4].
Khi vật đó là ánh sáng (w = c), kỳ thú thay (c ± v)/(1 ± cv/c2)
không tùy thuộc vào v nữa mà lúc nào cũng bằng c, giải thích
thoả đáng thực nghiệm Michelson & Morley. Dù bay nhanh đến đâu chăng nữa,
thậm chí v = 99,99% c, ta vẫn không sao đuổi kịp ánh sáng vì nó vẫn
chạy xa ta với vận tốc c như khi ta đứng yên!
Thông điệp cách mạng của Einstein
so với cơ học cổ điển Newton, là chẳng có một thời gian tuyệt đối và phổ
quát trong một không gian biệt lập với thời gian, chúng mật thiết liên đới,
mỗi thời-điểm phải gắn quyện với mỗi không-điểm trong một thực tại bốn chiều
sau này gọi là thế giới Minkowski để diễn tả sự vận hành của các sự kiện
vật lý, cái lúc
nào phải
kèm theo cái ở
đâu.
Sân khấu của các sự kiện không phải là thời gian,
cũng không phải là không gian mà là đa tạp tích hợp: không-thời gian.
Sự gắn bó chặt chẽ thời gian với không gian (qua thế giới bốn chiều
Minkowski) để diễn tả các sự kiện vật lý phản ánh tính chất phong phú và độc
đáo của cơ học tương đối tính. Hermann Minkowski là người đầu tiên năm 1908
đề xuất thế giới bốn chiều vì ông thấu hiểu bản chất gắn quyện thời gian với
không gian của thuyết tương đối mà ngay cả Einstein năm 1905 cũng chưa nhận
thấy khi ông gắn ký hiệu i vào thời gian t trong s2
º
x2 + y2 + z 2 + (it)2.
Thời gian thậm chí còn đóng vai
trò thước đo độ dài của không gian, định nghĩa chính thức hiện đại của một
mét là 1/(299792458) của một giây-ánh sáng. Đơn vị của độ dài không gian như
giây-ánh sáng (hay năm-ánh sáng) chỉ định khoảng cách mà ánh sáng di chuyển
trong một giây (hay một năm). Vân tốc c như vậy đóng vai trò hằng số
cơ bản của tự nhiên.
Có muôn ức thời gian, t và t’ đều chỉ định thời gian
trong hai hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc khác nhau. Đồng hồ
trong mỗi hệ quy chiếu quán tính đều có nhịp độ tích tắc nhanh chậm khác
nhau, khoảng cách thời gian của mỗi hệ quy chiếu tùy
thuộc vào vận tốc chuyển động của hệ ấy. Nhịp đập thời gian của bạn khác của
tôi, ở mỗi điểm không gian lại gắn một đồng hồ đo thời gian với nhịp độ tích
tắc khác nhau.
Sở dĩ bạn và tôi
tưởng rằng chúng ta chia sẻ một thời gian phổ quát, chỉ vì cộng nghiệp con
người trong cái không gian quá nhỏ bé của trái đất so với vũ trụ, bạn và tôi
đâu có xa nhau gì, vận tốc tương đối giữa chúng ta thấm gì so với vận tốc
ánh sáng (v²⁄c² « 1, γ ≈ 1). Không có mũi tên thời gian lạnh lùng
trôi của trực giác mà cơ học cổ điển Newton thừa nhận, không có cái đồng
thời phổ quát và cái hiện tại của sự kiện, cái bây
giờ chẳng thể xác định và
giữ vai trò ưu tiên đặc thù nào hết vì liên tục có muôn vàn đỉnh nón ánh
sáng (phụ chú 2) trong thế giới Minkowski của các sự kiện, mỗi đỉnh nón
là một cái bây giờ.
Hơn nữa, không-thời gian và vật chất lại hợp nhất như hình với bóng
trong vũ trụ co dãn (thuyết tương đối rộng). Đã không có hiện tại thì nói
chi đến quá khứ và tương lai, đó là nội dung triết học kinh ngạc của thuyết
tương đối trong nhận thức về thời gian, cái ‘bây giờ’ chỉ là một ảo tưởng.
Diễn tả hàm súc nhất về nhận thức này có lẽ nằm trong bức thư Einstein gửi
cho con trai của Besso[6]
khi nghe tin bạn mất. Bức thư viết: ‘’Vậy bạn đã trước tôi một chút giã từ
cái thế gian lạ lùng này. Nhưng cái đó chẳng nghĩa lý gì. Đối với chúng ta,
những nhà vật lý có xác tín, sự chia cách quá khứ, hiện tại, tương lai chỉ
là một ảo giác, dẫu nó dai dẳng đến thế nào’’.
III-Vài
hệ quả kỳ diệu kiểm chứng được bằng thực nghiệm.
A- Hệ quả đầu tiên của thuyết Tương đối hẹp
là khi chuyển động với vận tốc v thì một mét chiều dài không gian và một
giây đồng hồ của thời gian sẽ thay đổi, khoảng cách độ dài không gian co
ngắn lại và thời gian dãn nở ra. Khám phá ra điều cực kỳ quan trọng này vì
Einstein thấu hiểu ý nghĩa vật lý của phương trình hoán chuyển x, t, trong
khi Lorentz tuy cũng đã thấy không gian co cụm là một đáp số của phương
trình nhưng cho đó chỉ là một hiếu kỳ toán học của phép hoán chuyển mà không
có ý nghĩa vật lý nào khả dĩ kiểm chứng được bằng thực nghiệm. Còn sự dãn nở
của thời gian thì duy nhất chỉ có Einstein khám phá ra.
1- Câu hỏi là một mét mà hai đầu đặt ở hai
điểm O‘ và X‘ (toạ độ x’ của J’) thì người quan sát nằm trong J
đo lường thấy là bao nhiêu ở bất kỳ một thời điểm t nào, đặc biệt t =
0. Nói cách khác, khoảng cách OX (tọa độ x của J đứng yên) khác biệt
ra sao so với khoảng cách O‘X’ di động với vận tốc v.
Phương trình x’ =
γ
(x
- vt) của (I) với t = 0 cho ta x =
x’/γ = x’√(1− v² ⁄c²). Vì O’X’chuyển động với vận tốc v nên cái thước
OX (đo lường bởi một người quan sát nằm trong J ) bị co ngắn đi bởi
hệ số 1/γ = √(1− v² ⁄c²)
<
1. Ngược lại nếu coi OX chuyển động (với vận tốc
- v) so với O’X’ đứng yên (J
chuyển động so với J ' đứng yên) thì phương trình x =
γ
(x’ + vt) của (I’) cho kết quả tương tự x’ = x/γ = x√(1− v² ⁄c²), độ
dài không gian của vật di động với vận tốc
± v bao giờ cũng bị co ngắn bởi 1/γ = √(1− v² ⁄c²). Độ dài
không gian di chuyển theo hướng song song với vận tốc v bị co,
một mét trên tàu chỉ bằng √(1− v² ⁄c²) mét trên bến. Ngược lại, một
mét trên bến bằng √(1− v² ⁄c²) mét trên tàu. Nhưng độ dài không gian
khi di chuyển theo hướng thẳng góc với v thì không thay đổi trong mọi
trường hợp.
2- Cũng vậy, một độ dài thời gian (toạ độ t’
của J ' ở bất kỳ không điểm x’ nào) nhưng đo lường bởi một người quan
sát nằm trong J chính là độ dài thời gian (toạ độ t của J ).
Thời gian t của hệ quy chiếu bất động J dài hơn
gấp γ
lần thời gian t’của hệ quy chiếu J ' di
chuyển với vận tốc v:
t = γ t’ = t’/√(1− v² ⁄c²).
Thực thế thời gian t’ chỉ định bởi
đồng hồ di động đặt ở trung tâm toạ độ O‘ (r’ = 0) cho ta ct’ – 0 =
(ct)√(1 – r²/t²c²) = (ct)√(1– v²/c²), do đó t =
γt’.
Một cách chứng minh khác cũng cho kết quả tương tự. Với x’ = 0, phương trình
thứ nhất x’ = γ (x-
vt) của (I) cho ta x = vt. Thay thế x bằng vt trong phương trình thứ hai t’
= γ
(t
- xv/c2)
của (I), ta có t’ = t/γ.
Một giây của đồng hồ di động bằng
γ giây của đồng hồ đứng yên, thời gian ở trên bến dài gấp
γ
lần thời gian ở trên tàu. So với nhịp độ tích tắc của đồng hồ trên bến thì
đồng hồ trên tàu đập chậm đi γ
lần, nếu đồng hồ trên bến có nhịp đập mỗi tíc tắc là một giây thì nhịp tíc
tắc đồng hồ trên tàu là γ
giây. Các vật di chuyển càng nhanh thì thời gian của chúng càng trôi chậm,
thậm chí thời gian của ánh sáng ngưng đọng như đóng
băng (γ = ∞).
Từ nay ta gọi chung tất cả các
τ
º
t/γ là thời
gian riêng của hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc
v, còn t chỉ định thời gian
của hệ quy chiếu bất động.
Sự co dãn thời gian (nhịp độ đồng
hồ đập nhanh chậm khác nhau) của các vật chuyển động với vận tốc lớn đã được
thực nghiệm kiểm chứng nhiều lần từ những năm 1970 dùng đồng hồ nguyên tử
đặt trên máy bay, hoả tiễn, tiếp nối bởi biết bao ứng dụng thực tiễn trong
đời sống con người mà Hệ thống Định vị Toàn cầu (Global Positioning System,
GPS) là một ví dụ. Trên các vệ tinh của GPS, sự chính xác cực kỳ của nhịp độ
đồng hồ là điều kiện tối quan trọng cho GPS đo đạc khoảng cách không gian
thành công. Trên các vệ tinh đó, thuyết Tương đối rộng cho ta hệ quả ngược
với thuyết Tương đối hẹp, thời gian co cụm lại vì cường độ trọng lực trên vệ
tinh giảm đi so với mặt đất. Nhưng vệ tinh GPS vì chuyển động nhanh so với
mặt đất đứng yên nên thời gian trên đó cũng dãn nở theo thuyết Tương đối
hẹp, như vậy ta phải kết nối hai hệ quả trái ngược nhưng khác nhau về độ lớn
của sự thay đổi nhịp tích tắc đồng hồ trên vệ tinh GPS.
Câu chuyện ẩn dụ Từ thức thăm
Thiên thai rồi trở về cố hương thấy cảnh vật đổi thay nhiều, thời gian dưới
trần trôi quá nhanh, một kịch bản Đông phương của nghịch lý hai anh
em sinh đôi, người anh bay với vận tốc cao trong vài năm rồi trở về thấy em
ở lại nhà nay đã thành lão, hay chuyện khoa học cho đại chúng của nhà vật lý
G. Gamow với nhân vật M. Tompkins sống trong một thế giới tưởng tượng ở đó
vận tốc ánh sáng chỉ bằng 30 km/h, có bà mẹ đặt một con sơ sinh trên vòng
ngựa gỗ quay với vận tốc xấp xỉ bằng vận tốc ánh sáng, còn con sinh đôi đặt
ở dưới đất bên cạnh. Quên đi năm sau trở lại thấy bé trên vòng ngựa gỗ vẫn
gần như xưa còn hai mẹ con trên đất già thêm là một ẩn dụ khác[7].
B- Hệ quả tuyệt vời thứ hai là
phương trình E =
γmc² của thế kỷ liên
kết năng lượng E khổng
lồ với khối lượng m nhỏ
bé của vật chất, trong một gam khối lượng tiềm ẩn một năng lượng tương đương
với nhu cầu dinh dưỡng của vài chục ngàn người trong vài năm!
1-Vài
điều sơ đẳng trong cơ học cổ điển
Khối lượng
của vật chất là một khái niệm quan trọng trong khoa học mà nhân loại đã ý
thức ít nhiều về nó ngay từ thuở các nền văn hiến ngàn xưa. Một cách định
tính, ta hãy khởi đầu với cơ học cổ điển của Galilei và Newton theo đó khối
lượng m của một vật được hiểu như bản tính nội tại của nó, m
gói ghém “số lượng của vật chất” kết tụ trong đó.
Còn năng
lượng? Dưới dạng sức nóng - mà ta gọi là nhiệt năng - có lẽ con người đã cảm
nhận ra khái niệm năng lượng ngay từ thuở họ phát minh ra lửa, không phải
ngẫu nhiên mà ngôn từ calorie đã được dùng để chỉ định đơn vị năng lượng. Nó
là căn nguyên tác động lên vạn vật để làm chúng biến đổi dưới mọi hình thái
hoặc làm chúng di chuyển. Như vậy năng lượng chẳng thể tách rời khỏi lực và
để diễn tả chính xác thì năng lượng được định nghĩa như tích số của
vectơ lực F nhân với vectơ chiều dài x mà vật
di chuyển do tác động của F áp đặt lên nó. Thực vậy, tích số
F. x trước hết gọi là công làm ra bởi lực F
tác động lên một vật. Đó là một định nghĩa hợp lý vì nó chỉ định cái công
sức mà lực phải bỏ ra để làm cho vật di chuyển một đoạn chiều dài x
với vận tốc v = dx/dt. Khi ta mang cho vật cái
công sức của F thì vật đó phải biến đổi bởi vì nó thu
nhận một năng lượng E, và ta định nghĩa năng lượng mà vật thu được
chính là công của lực F mang cho nó. Vậy E =
F. x, và dưới dạng vi phân dE = F.dx,
ta suy ra là sự biến đổi theo thời gian t của năng lượng dE /dt chính
là tích số F.v, dE/ dt = F.v
mà ta sẽ dùng để tìm ra phương trình E = γmc2
của thế kỷ.
Trong cơ học
có hai loại năng lượng thường được nhắc đến: thế năng và động năng. Thí dụ
thứ nhất là trọng lực Fg = mg (với g
= |g| ≈ 9.81m/s2 chỉ định gia tốc
tạo nên bởi trọng trường của trái đất). Sức hút Fg
kéo khối lượng m rơi từ trên một độ cao h = |x|
xuống mặt đất. Vì Fg và x song song
và cùng hướng về trung tâm trái đất nên Fg .
x = mgh. Đại lượng mgh gọi là thế năng của
vật đặt ở độ cao h so với mặt đất. Ở bất kỳ một điểm cao h nào đó, vật mang
sẵn một năng lượng mgh tiềm tàng, một thế năng. Thí dụ thứ hai là với
bất cứ một lực F nào ta cũng có dE = F.dx,
khi thay dx = vdt và F = mdv/dt,
ta có dE = mv.dv, làm tích phân ta được E
= (½)mv2, với v = |v|. Ta gọi năng
lượng (½)mv2 là động năng. Một vật khối lượng m
chuyển động với vận tốc v mang động năng (½) mv2.
Một vật đứng yên (v = 0) rơi từ một độ cao h, khi chạm đất nó có vận tốc v =
(2gh)½, thế năng mgh chuyển sang động năng (½) mv2,
minh họa định luật bảo toàn năng lượng.
Sau hết, ta
định nghĩa vectơ xung lượng p = mv và phương trình cơ
bản F = mdv/dt nay viết dưới dạng F
= dp/dt.
2- Hai
con đường đến E = γmc2
Tại sao hai?
Nhà vật lý kỳ tài Richard Feynman từng khuyến khích là nếu có thể thì nên
suy diễn, trình bày hay chứng minh một kết quả khoa học nào đó theo nhiều
phương pháp khác nhau để rọi sáng vấn đề. Tập sách tuyệt vời The Feynman
Lectures on Physics có nhiều thí dụ diễn giảng khác nhau mà bổ túc cho
nhau.
Trong cơ học
tương đối tính (hay thuyết tương đối hẹp), theo Einstein[8]
để tránh sự mơ hồ, thậm chí nhầm lẫn về khái niệm khối lượng, ta không nên
đưa ra hai ký hiệu: m(v) ≡ γm và m0 ≡ m(v = 0) theo đó m0
là khối lượng bất động của một vật và m(v) = m0/√(1− v²⁄c²)
là ‘khối lượng tương đối tính’ khi vật chuyển động với vận tốc v. Tích số
của γ với m không
nên hiểu và truyền bá như “khối lượng thay đổi với vận tốc’’ và viết
γm dưới
dạng m0/√(1 –v2 /c2)
trong các sách giáo khoa. Chỉ có một khối lượng m trong các định luật
vật lý, không có khối lượng m0 của vật bất động hay khối lượng
‘tương đối tính’ m(v) hàm số của vận tốc v.
a- Henri Poincaré, nhà toán
học uyên bác và phổ quát Pháp, năm 1900 (trước năm thần kỳ 1905) đã viết ra[9]
E = mc2 (thiếu hệ số γ cốt lõi), nhưng phương pháp
thiếu nhất quán của ông để tìm ra nó khiến tác giả đã quên hẳn, đến nỗi năm
1908, ba năm sau khi Einstein khám phá ra E0 = mc2,
Poincaré - khi so sánh một vật phát xạ ánh sáng với một khẩu đại bác bắn ra
một viên đạn - còn viết trong La dynamique de l’électron, Science et Méthode
(1908) mấy câu sau: ‘’ Khẩu đại bác giật lùi vì viên đạn bị bắn ra đã tác
động trở lại. Trường hợp vật phóng quang lại là chuyện khác, ánh sáng phát
ra không phải là vật chất, đó là năng lượng, mà năng lượng thì không có
khối lượng’’. Qua câu trên, Poincaré tuy có viết ra E = mc2
nhưng ông đã quên nó rồi.
Poincaré tìm ra E = mc2
bằng cách nào? Trước hết, ông xem xét một chùm sóng ánh sáng có năng lượng
E và xung lượng p. Theo định lý Poynting trong điện-từ thì p ≡
|p| = E/c, điều chính xác đối với photon không có khối lượng.
Cái lầm của Poincaré là dùng phương trình của cơ học cổ điển p = mv
(với v = c) để áp dụng cho ánh sáng vì năm 1900 ông chưa
suy diễn ra hệ số quan trọng γ. Đó là nghịch lý vì cơ học cổ điển chỉ áp
dụng cho những di động chậm, v « c. Kết hợp hai cái xung khắc là p =
E/c với p = mc, ông thấy E = mc2, vì
thiếu hệ số γ nên công thức đưa đến hệ quả sai là ánh sáng với năng lượng
E có khối lượng m = E/c2 ≠ 0. Điều ngạc nhiên là ngày
nay hãy còn vài tác giả Pháp bảo hoàng hơn vua khẳng định Poincaré là tác
giả phương trình của thế kỷ[10].
b- Cần nhắc điều quan trọng
là trong thuyết tương đối hẹp, mỗi không-điểm x (3 thành phần
x, y, z) phải gắn một thời-điểm t trong một thực tại không-thời gian
bốn chiều Minkowski. Một tứ-vectơ không-thời gian là tập hợp có 4
thành phần mang ký hiệu xμ (x0 = ct, x1,
x2, x3), với x1 = x, x2 = y, x3
= z, viết gọn là xμ (x0 = ct, x).
Từ tứ-vectơ xμ, ta lập một tứ-vectơ xung lượng pμ =
mdxμ/dτ, và tính toán ra bốn thành phần của pμ (p0
= γmc, p = γmv). Dùng định nghĩa quen thuộc của
vectơ vận tốc v = dx/dt, vectơ gia tốc a = dv/dt,
ta tính ra đẳng thức
dγ/dt = γ3(v.a)/c2
Phương trình F = dp/dt
= md(γv)/dt cho ta F = [mγ3(v.a)/c2]
v + mγa thay thế F = ma, cũng như
p = mγv thay thế p = mv của
cơ học cổ điển, chúng là giới hạn khi c → ∞ của cơ học tương đối
tính.
c- Hai phương pháp chứng
minh E = γmc2.
Cách thứ nhất dựa vào dE/dt
= F.v đề cập ở đoạn 1. Dùng F =[mγ3(v.a)/c2]
v + mγa vừa thiết lập, ta có F.v =
mγ3(v.a), khi kết hợp nó với dγ/dt = γ3(v.a)/c2,
ta được F.v = mc2 dγ/dt = dE/dt
và như vậy E = γmc2.
Cách thứ hai là liên kết thành
phần p0 = γmc (của tứ-vectơ xung lượng pμ) với
năng lượng E, và xin chú tâm đến thứ nguyên ML2/T2
của năng lượng (qua ba đại lượng cơ bản là khối lượng M,
chiều dài không gian L, thời gian T). Vậy phép phân tích thứ nguyên bảo ta p0
= E chia cho một vận tốc nào đó. Ta chỉ có hai lựa chọn, đó là v hay
c, nhưng v không thích hợp vì nó có thể bằng 0 và đưa p0
đến một giới hạn vô tận, vậy p0 = E/c. Với p0
= γmc, ta có E = γmc2. Lựa chọn p0
= E/c còn phù hợp với trường hợp v « c, vì khi
ta khai triển hệ số γm thành chuỗi (v/c)n thì ta có
γmc2 ~ mc2 + (½)mv2
+ (3/8)m(v4/c2 )..., ta nhận ra γmc2
chứa đựng động năng (½)mv2 quen thuộc. Đó
là phương pháp Einstein dùng để tìm ra phương trình của thế kỷ[11].
Tóm lại hai phương trình cơ
bản của thuyết tương đối hẹp là:
E2
– |p|2c2 = m2c4
p = (E/c2)
v
Hai phương
trình trên áp dụng cho mọi trường hợp của khối lượng m bằng hay khác
0. Với photon (m = 0), phương trình trên cho ta E = pc,
trùng hợp với định lý Poynting. Hơn nữa ánh sáng (photon) vì không có khối
lượng, nó chẳng bao giờ bất động, vận tốc lúc nào cũng bằng c, do đó
tích số γm của photon mang dạng 0/0 và năng lượng E = γmc2
của nó có thể là bất cứ con số nào khác 0 và thực vậy. Ta đi vào lãnh
vực của lượng tử với Max Planck: E = hν = pc. Năng
lượng của photon không xác định được trong thuyết tương đối mà lại đến bằng
con đường lượng tử. Tuy khối lượng bằng 0, nhưng photon có năng lượng khác 0
và bằng tần số dao động ν của nó nhân với hằng số Planck h = 6.63 x
10–34 Js.
Tạm dừng trước khi bước tiếp
Mời bạn chú
tâm đến câu ‘’di chuyển đều đặn cũng như không’’của Galilei liên đới
đến trường hợp đặc biệt của vận tốc cố định không thay đổi với thời gian (gia
tốc = 0) trong các hệ quy chiếu quán tính, đặc trưng của thuyết
Tương đối hẹp. Tính từ hẹp dùng ở đây để chỉ định sự chuyển động không có
gia tốc này. Có lẽ Einstein tự đặt trong tiềm thức câu hỏi là các kết quả
của Thuyết Tương đối sáng tạo năm 1905 sẽ thay đổi ra sao trong trường hợp
di chuyển không đều đặn, rồi một ngày tháng 11 năm 1907
Einstein chợt nẩy ra một ý tưởng mà ông coi như mãn nguyện nhất trong đời:
một người rớt từ trên cao xuống không cảm thấy sức nặng của mình. Ông
nhận ra vai trò quyết định của trọng trường trong sự nới rộng phạm trù
không gia tốc của thuyết tương đối hẹp sang phạm trù có
gia tốc của thuyết tương đối rộng. Câu ‘’di chuyển đều đặn cũng
như không’’ của Galilei, qua ý tưởng sung sướng nhất trong đời của Einstein,
nay biến thành ’’di chuyển không đều đặn chẳng khác gì tác động của trọng
lực’’đã mở đầu một kỷ nguyên mới cho vật lý, nới rộng thuyết tương đối
hẹp (hay đặc biệt) sang thuyết tương đối rộng (hay tổng quát) để thay thế
thuyết vạn vật hấp dẫn của Newton, định luật cổ điển này là truờng hợp xấp
xỉ gần đúng của thuyết tương đối rộng chính xác hơn.
Ngoài ra còn
thêm một nguyên nhân thúc đẩy Einstein mở rộng thuyết tương đối hẹp vì ông
nhận ra có một mâu thuẫn giữa thuyết này (theo đó vận tốc của mọi tín hiệu
đều có hạn, kể cả ánh sáng) và luật cổ điển vạn vật hấp dẫn của
Newton (theo đó trọng lực truyền đi với vận tốc vô hạn để vạn vật hút
nhau tức thì). Vậy sửa đổi luật hấp dẫn Newton sao cho nhất quán với
thuyết tương đối hẹp sẽ tự động giải đáp được mâu thuẫn nói trên.
Đó là điểm khởi đầu cho thuyết
Tương đối rộng mà chúng ta sẽ tiếp tục trong những phần sau.
Mời bạn thưởng ngọan phương trình mà Einstein viết ra cuối năm 1915,
vế trái mô tả hình hài cong uốn của không-thời gian trong đó vận hành vạn
vật, còn vế phải là năng-xung lượng của vật chất tạo dựng nên cấu trúc
không-thời gian đó:
Rμν –
(½)R gμν
= (8πG/c4)Tμν
Nhà vật lý
Nhật bản Yoichiro Nambu minh họa vế trái phương trình Einstein bằng lâu đài
Himeji-jo xa xưa của một thoáng không gian thanh thoát bên bờ suối, còn vế
phải bên kia cầu vương vấn trong cảnh trần ai bởi khói than nhà máy phản ánh
vật chất nặng nề!
Phụ chú
[1] Hệ quy chiếu quán
tính là hệ quy chiếu di chuyển với vectơ vận tốc v đều đặn
(độ dài và chiều hướng của v cố định, không thay đổi với thời
gian, như vậy gia tốc a
º
dv/dt = 0). Các vectơ trong không gian ba chiều đều
viết dưới dạng in đậm như v, k và v ≡ |v|, k =
|k|. Vectơ X có 3 thành phần không gian là x, y, z, ta
viết gọn X (x, y, z).
[2] Đa tạp bốn chiều
không-thời gian có tung độ là trục thời gian ct, hoành độ là
không gian ba chiều với ba trục Ox, Oy, Oz. Đồ thị của phương trình
s² º
x² + y² + z² -
(ct)² trong đa tạp này là một nón ánh sáng với đỉnh là
một điểm T nằm trên tung độ (OT = ct), còn đáy nón là quả cầu
S bán kính r, với r2 = x² + y² + z², nửa góc ở đỉnh nón
bằng 45°. Quỹ đạo của các tia ánh sáng (khối lượng = 0, tương ứng
với trường hợp s² = 0 vì ct = r) là vành biên của nón, nối
đỉnh T với chu vi của mặt cầu, còn quỹ đạo của các vật mang khối
lượng m
¹ 0 (tương ứng với trường hợp
s² >
0 vì v <
c) nằm bên trong nón ánh sáng. Các quỹ đạo vận hành
của vật chất (sự kiện) đều có thể diễn tả bởi những đường cong nằm
trong nón ánh sáng. Trong hình dưới đây, quả cầu S được tượng trưng
bởi một vòng tròn nằm trong mặt phẳng của hai trục không gian Ox,
Oy, mặt phẳng này cắt quả cầu S bởi một mặt phẳng khác thẳng góc với
trục không gian Oz. Nón úp diễn tả quá khứ, nón mở là
tương lai, còn đỉnh nón T là bây giờ.
[3] Poincaré là người
đầu tiên gán tên Lorentz cho phép hoán chuyển này vì Lorentz viết nó
ra dưới dạng gần đúng năm1895 và dạng chính xác năm 1904. Thực ra
Woldemar Voigt tìm ra năm 1887 nhưng chỉ khác bởi một hệ số chung
toàn bộ và Joseph Larmor năm 1900. Poincaré tổng quát hóa hoán
chuyển Lorentz bằng ma trận 4 x 4 với cả bốn toạ độ x, y, z, t, thay
vì hai tọa độ x, t. Tuy biết công trình gần đúng năm 1895 của
Lorentz nhưng Einstein khi phân tích những khái niệm cơ bản về thời
gian và không gian đã suy diễn ra phương trình hoán chuyển giữa x và
t này một cách độc đáo và khác các vị trên. Còn cách giải thích và
nhận xét ý nghĩa vật lý của sự hoán chuyển x, t thì hoàn toàn khác
biệt giữa Einstein và các vị tiền bối khác.
[5] Một cách đơn
giản cơ học tương đối tính là cơ học cổ điển kèm thêm hệ số γ, trong
các phương trình diễn tả cơ học Newton ta thay thế các đại lượng vật
lý (khối lượng m, xung lượng p…) bằng tích số của
chúng với γ để thành cơ học tương đối tính. Cơ học cổ điển (tương
ứng với trường hợp các chuyển động chậm,
v/c « 1 hay c ®
∞, γ
®1)
là dạng xấp xỉ của cơ học tương đối tính.
Mời bạn tham khảo hai chương đầu
cuốn sách của Thibault Damour: Si Einstein m’était
conté, Le cherche midi, 2005, và
bài của Craig Callender: Is
time an illusion? Scientific
American, tháng 6/ 2010 do Cao Chi biên dịch dưới nhan đề
Thời gian phải chăng chỉ là một ảo
tưởng?, tạp chí Tia sáng
19/07/ 2010
http://tiasang.com.vn/Default.aspx?tabid=111&CategoryID=2&News=3316
[7] Bạn có thể thắc
mắc là hai anh em di chuyển với vận tốc cố định so với nhau,
người này so với người kia biết ai bay ai ở (như chuyển động tương
đối giữa hai hệ quy chiếu quán tính J và J ' với nhau,
với vận tốc v của J ' so với J và
-
v của J so với J ' nói trong bài), anh hay em
người nào cũng thấy thời gian của mình dài hơn thời gian của người
kia, làm sao biết ai già ai trẻ? Đúng vậy trong trường hợp vận tốc
v của hỏa tiễn mãi mãi cố định trên một đường thẳng duy
nhất không thay đổi chiều hướng và cường độ. Để thấy sự khác
biệt, ta phải xét trường hợp có một bất đối xứng nào đó, một trong
hai người di chuyển với vận tốc thay đổi về chiều hướng và/hay cường
độ, thí dụ bay đến một hành tinh, đậu xuống đấy và trở về trái đất.
[8] Thưcủa A. Einstein cho Lincoln Barnett, ngày 19 tháng 6 năm 1948
(Hebrew University of Jerusalem, Israel).
Xem thêm bài của
Lev. B. Okun, Physics Today June 1989, 31-36.
[11] Mặc
dầu bốn thành phần của tứ-vectơ pμ vì phụ thuộc vào hệ số
γ nên chúng đều thay đổi theo v, nhưng độ dài bình phương của
tứ-vectơ (p0)2 – |p|2
không phụ thuộc vào v, nó bất biến: (p0)2
– |p|2 = m2c2.
Cũng vậy, năng lượng E = γmc2 và xung lượng
p = γmv đều thay đổi theo v nhưng E2
– |p|2c2 = m2c4
không phụ thuộc vào v, nó bất biến trong mọi hệ quy chiếu.
Bất biến là điều kiện tiên quyết mà thuyết tương đối đòi hỏi,
nếu E ≠ γmc2 (thí dụ E = γmcv)
thì ta không có một bất biến nào.