Trong
"thời buổi kỹ trị" ngày nay, khoa học nói chung và toán học nói
riêng nhiều lúc đã được tôn sùng như "thái thượng hoàng" trong vương
quốc các hoạt động trí tuệ của loài người. Vì thế, không có gì để
ngạc nhiên khi thấy vấn đề giáo dục toán học bỗng nhiên trở thành
một trong các đề tài được bàn cãi sôi nổi nhất trên khắp toàn cầu.
Những năm gần đây, cuộc bàn cãi đó đã đi đến những tổng kết quý giá:
Trong
một chừng mực đáng kể, xuyên suốt nhiều thập kỷ của thế kỷ XX, nền
toán học và giáo dục toán học toàn cầu đã xa rời mục tiêu hiện thực
- mục tiêu "bẩm sinh" của toán học - để hướng tới ước muốn chủ quan
của một số nhà toán học - ước muốn xây dựng toán học như một lâu đài
pha lê trong suốt, rực rỡ, không hề bị gợn đục bởi bất kỳ một mệnh
đề phi logic nào. Ước muốn đó đã chắp cánh cho chủ nghĩa toán học
hình thức (formalism) và cho nền toán học mới (new mathematics). May
mắn thay, sự thất bại của nền giáo dục toán học gần đây ở nhiều nước
như Mỹ, Anh, Pháp, v.v. đã thức tỉnh các nhà khoa học và giáo dục.
Hơn bao giờ hết, họ nhận ra ý nghĩa của khoa học và giáo dục là ở
chỗ biết phân biệt ranh giới giữa ước muốn với hiện thực, giữa cái
"khả thi" (possibility) với cái "bất khả thi" (impossibility) mà
Kurt Godel đã lưu ý từ hơn 70 năm trước đây sau khi công bố Định lý
về tính bất toàn (Theorem of Incompleteness) nổi tiếng, một định lý
đã làm thay đổi nhãn quan toán học.
Do
đó, sẽ không thể có một cái nhìn tổng quan và chính xác về giáo dục
toán học nếu không kiểm điểm lại đôi nét lịch sử toán học và giáo
dục toán học.
1.
Nền "toán học mới" và hậu quả của nó
Bách
khoa toàn thư Americana 1999 của Mỹ viết: "Vào những năm 60 và 70
(thế kỷ XX) đã dấy lên một phong trào dạy toán kiểu mới tại các
trường tiểu học và trung học, được gọi là Toán học mới. Thực ra
chẳng có một thứ toán học mới nào cả, mà chỉ có cái mới trong chương
trình toán đưa vào các trường phổ thông mà thôi. Trong số các môn
được đưa vào giảng dạy có Lý thuyết tập hợp và Logic sơ cấp, các hệ
thống số khác nhau, các hệ đếm khác nhau, và môn số học đồng nhất
mô-đun (modular consistency arithmetic). Có sự kết hợp hình học với
đại số, và việc sớm đưa các tư tưởng hình học vào hệ thống giáo dục.
ý đồ đưa tư duy phê phán vào giáo dục cũng được chú trọng. Câu hỏi
tại sao một phương pháp được áp dụng được nhấn mạnh nhiều hơn là
phương pháp ấy được áp dụng như thế nào. Học sinh được khuyến khích
hiểu các khái niệm hơn là học thuộc các quy tắc. Lối học theo kiểu
nhắc lại và học thuộc bài không được hoan nghênh. Việc chính xác hóa
các biểu thức và biện luận các bước biến đổi đại số được đặc biệt
chú ý. Đồng thời người ta cổ vũ học sinh tự phát minh và dạy học
sinh cách nhận biết mô hình trợ giúp phát minh. Khi phương pháp mới
này được tiến hành, chương trình Toán học mới được hỗ trợ mạnh mẽ
bởi các nhà hàn lâm, mặc dầu cũng có những chống đối biểu hiện rõ
ràng. Tuy nhiên đến thập kỷ 80 thì các nhà quan sát thấy rõ rằng
chương trình này còn xa mới đạt được những điều nó hứa hẹn. Tình
trạng mù toán học (mathematical illiteracy) là phổ biến, và rõ ràng
là các quốc gia khác, như Nhật Bản hay Liên Xô, có học sinh được đào
tạo tốt hơn. Mặc dù lý do thất bại của chương trình này khá phức
tạp, nhưng đã có thể nêu lên một số đánh giá khái quát. Việc đào tạo
giáo viên cho một chương trình có tầm cỡ như vậy được thực hiện rất
hạn chế, rồi bỏ mặc nền giáo dục cho những giáo viên mà chính họ
cũng không hiểu thấu những kiến thức này. Việc không chú ý tới cách
học thuộc bài tỏ ra phản sư phạm: chẳng hạn, ít nhất thì việc cần
phải làm phép tính: 1/2+2/3=? cũng quan trọng ngang với việc giải
thích ý nghĩa của phép tính đó. Việc nhấn mạnh đến các môn học khó
hiểu như Lý thuyết tập hợp tỏ ra phản tác dụng khi mà việc
ứng dụng các kiến thức đó cũng còn rất hạn chế ngay cả đối với những
nhà toán học và khoa học thực hành. Chương trình quá chú trọng tới
toán học ở trình độ cao này dẫn tới sự trả giá là mất kiến thức cơ
bản".
Theo
Reuben Hersh, giáo sư Đại học New Mexico, việc áp dụng chủ nghĩa
hình thức trong toán học đã để lộ ra rằng người ta đã không hiểu
ngay chính bản chất toán học là gì. Trong cuốn Thực ra toán học là
gì?(2) xuất bản năm 1998, Hersh viết: "Những người theo chủ nghĩa
hình thức trong việc trình bày toán học có ảnh hưởng lớn nhất là
nhóm Nicolas Bourbaki. Dưới bút danh này họ đã xuất bản những bài
giảng dành cho đối tượng học sinh đã tốt nghiệp tạo nên một ảnh
hưởng rộng khắp thế giới trong những năm 1950 và 1960. Phong cách
toán học hình thức đã nhỏ giọt xuống sự giảng dạy đối với học sinh
các lớp dưới và thậm chí cho các lớp mẫu giáo, với bài giảng về Lý
thuyết tập hợp dành cho trẻ em trước tuổi đến trường. Một trò chơi
gọi là "WFF và chứng minh" được dùng để hỗ trợ trẻ em đang ở tuổi đi
học tiếp thu "công thức biểu - diễn - đâu - ra - đấy" (well formed
formulas, viết tắt là WFF) thích hợp với logic hình thức". Hersh cho
biết: "Những năm gần đây, một phản ứng chống lại chủ nghĩa hình thức
đang tăng lên. Có một sự quay trở về cái cụ thể và ứng dụng. Có một
sự coi trọng nhiều hơn đối với mẫu toán cụ thể với sự trình bày hình
thức kém phần chặt chẽ hơn... Dấu hiệu cho thấy triết học hình thức
đang mất dần vị thế uy tín của nó".
Tuy
nhiên, đà xuống dốc đến nay vẫn chưa hãm được. Hersh muốn đánh động
chúng ta phải chú ý tìm hiểu ý nghĩa thực sự của toán học, nếu không
sẽ có nguy cơ thất bại tiếp tục: "Nước Mỹ đang có nạn "mù khoa học"
(innumeracy) trong quảng đại quần chúng, nạn "trốn tránh môn toán"
(math avoidance) trong học sinh phổ thông trung học, và 50% sinh
viên cao đẳng thi trượt môn vi tích phân. Nguyên nhân bao gồm thiếu
kinh phí cho nhà trường, sự mòn mỏi tinh thần vì xem tivi, cha mẹ
học sinh không ưa thích môn toán. Nhưng có một nguyên nhân khác dẫn
tới thất bại trong giảng dạy toán học mà không mấy ai biết, đó là sự
thiếu hiểu biết về bản chất của toán học".
Tổ
chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới OECD đã đánh giá trong
báo cáo năm 1998: "Nước Mỹ đã mất vai trò dẫn đầu trong giáo dục".
William Schmitt, giáo sư về giáo dục học tại Đại học Michigan lên
tiếng: "Vấn đề là phải xét lại xem chúng ta giảng dạy thế nào".
Trong diễn văn tường trình trước Quốc hội Mỹ về thành tựu năm 1998
và vạch đường lối năm 1999, Tổng thống Bill Clinton đã tỏ ra lo lắng
nhiều về tình hình giáo dục, đòi các tiểu bang phải chịu trách nhiệm
trước kết quả học tập của học sinh, học sinh kém nhất thiết không
cho lên lớp hoặc tốt nghiệp, nâng cao chất lượng sư phạm bằng cách
sát hạch kỹ giáo viên mới ra trường...
Tại
Pháp, bà Stella Baruk, nhà sư phạm nổi tiếng, đã ra một "tuyên ngôn"
hùng hồn "Vì một nền toán học không thất bại" (Pour des Maths sans
échc) trên L'Express 10-11-1992, trong đó chỉ ra những sai lầm tai
hại của phương pháp "toán học mới". Bà cho biết, ngành giáo dục Pháp
đã tiến hành điều tra kết quả lối dạy toán kiểu mới này, kết quả
thật thảm hại. Một bài toán được nêu lên với các em học sinh 9 tuổi
đại ý như sau: Trên một con thuyền có 28 con cừu và 9 con dê, hỏi
tuổi của vị thuyền trưởng là bao nhiêu? 90% các em học sinh được hỏi
đều trả lời hồn nhiên: 37. Các em đã làm một phép "ánh xạ" các phần
tử 28 và 9 lên một phần tử thứ ba là 37, không cần biết ý nghĩa vật
chất thật sự của các đối tượng trong phép toán đó là cái gì, đúng
như tinh thần hình thức đã được đem ra giảng dạy cho các em(3).
Một
nhân vật nổi tiếng khác của Pháp, Pierre Gilles de Genes, người đoạt
giải Nobel vật lý năm 1991, hiệu trưởng Đại học lý hóa Paris, đã lên
tiếng khẩn thiết trong cuốn Những mục tiêu bấp bênh mà tờ Le Figaro
Magazine đã trích đăng ngày 5-11-1994. Ông nói: "Tôi không hài lòng
với hệ thống giáo dục của chúng ta... Nhà trường chỉ mang lại cho
học trò một mớ lý thuyết, những cung cách suy nghĩ và nhưng thói
quen rập khuôn xơ cứng".
Cần
chú ý rằng Pháp là nước tiên phong trong phong trào "Toán học mới",
nhưng cũng là nước tiên phong phê phán phong trào "Toán học mới".
Nhưng buồn thay, Stella Baruk nói, Bộ Giáo dục Pháp đã tảng lờ trước
những ý kiến chỉ trích đòi nhanh chóng thay đổi. Tuy nhiên, bà nói,
gần đây người ta lẳng lặng trở về với phương pháp truyền thống, đơn
giản vì phương pháp hình thức đã thất bại.
Tôi
không có tài liệu cụ thể về Anh, nhưng hai câu chuyện thật, xin kể
lại. Một người bạn tôi tên là X, trong một buổi tiếp khách ngoại
giao, anh nói với Đại sứ Anh: "Nước Anh là nước có nền giáo dục tốt
nhất thế giới". Viên Đại sứ mỉm cười nói: "Ông quên không nói là nền
bóng đá Anh cũng nhất thế giới", rồi vượt qua ranh giới xã giao,
viên Đại sứ nói tiếp: "Đó là nhìn từ bên ngoài vào. Chúng tôi biết
rõ mình hơn. Nền giáo dục của chúng tôi có lắm chuyện phải xem xét
lại lắm...". Một bạn khác của tôi, bác sĩ D.T.H đang sống và làm
việc ở London, có con đang học lớp 11, viết thư cho tôi: "Các cháu
học hành rất khổ sở, vì chương trình trong sách giáo khoa viết rất
cao, nhưng thầy giảng tại lớp thì chỉ nói qua loa, đại khái, bắt học
trò phải tự nghiên cứu. Đa số các cháu không đủ sức tự nghiên cứu".
2.
Việt Nam và nền "toán học mới"
Khi
tôi còin là sinh viên Đại học Tổng hợp Hà Nội, "ngọn gió Bourbaki"
thổi vào Việt Nam khá mạnh. Cố giáo sư Bộ trưởng Tạ Quang Bửu đã
viết một cuốn sách giới thiệu Bourbaki, chúng tôi ngốn ngấu đọc, mặc
dù không hiểu mấy. Ở trường, may mắn thay, "sức ỳ của quán tính"
mạnh hơn, phương pháp học truyền thống vẫn được duy trì, mặc dù các
môn học toán lý thuyết đã có vẻ được đề cao hơn. Thế hệ chúng tôi
ngưỡng mộ Bourbaki như "Euclid của thế kỷ XX", nhưng chúng tôi không
buộc phải học và trình bày toán học bằng các ngôn ngữ nghiêm khắc và
lạnh lùng của toán học hình thức. Trong khi đó, theo chỗ tôi biết,
"Toán học mới" đã chính thức được áp dụng cho các lớp 11, 12 của Sài
Gòn trước 1975, và chương trình "Toán học mới" bắt đầu thâm nhập
thực sự vào chương trình giáo dục toàn quốc từ khoảng 15 năm trước
đây, khi chúng ta chính thức thay đổi sách giáo khoa toán. Các khái
niệm trừu tượng mà thế hệ tôi được học ở đại học (ngành toán tổng
hợp) thấy xuất hiện trong các sách giáo khoa lớp 6, lớp 7. Một bạn
tôi là tiến sĩ toán đến thăm tôi đúng lúc tôi đang dạy một số em nhỏ
lớp 7 các hệ đếm nhị phân, La Mã, chuyển đổi các con số trong các hệ
đếm đó. Anh hoảng sợ nói với tôi: "Tại sao lại bắt các cháu học cái
đó? Bắt tôi viết số 1985 bằng số La Mã ngay bây giờ tôi cũng chịu".
Tôi thanh minh với anh rằng đó là ý muốn của nhà trường, tôi phải
giúp các em làm sao đối phó được với nhà trường, nếu không thì nguy
cho việc lên lớp của các em. Và tôi cũng đã từng khổ sở làm sao
giảng cho các em bé lớp 7 khái niệm hàm số như là "ánh xạ một một"
với ký hiệu f...-> Hồi đó tôi chưa có đủ tài liệu để thấy rõ mọi
điều như bây giờ, nhưng trực giác đã xui khiến tôi luôn miệng phàn
nàn rằng đó là chuyện phản sư phạm. Trong trường hợp này trực giác
có lý. Những giáo viên khác thì sao? Một số có thể vì quá say sưa
với cái đẹp của lý thuyết cao siêu mà quên đi lời dạy của Pericles,
nhà sư phạm lỗi lạc cổ Hy Lạp: "Nếu bạn không biết cách làm thế nào
để chia sẻ kiến thức thì cũng dường như bạn chẳng biết gì cả". Số
này là những người theo Bourbaki một cách ngay thật. Một số khác có
thể cũng thấy rõ phương pháp mới là dở, nhưng vì những lý do cá nhân
nên im lặng thực hiện. Một số khác nữa, có thể là số đông, không có
quan điểm riêng. Tuy nhiên tất cả chúng ta đều đáng được thông cảm,
bởi vì các giáo sư lỗi lạc trên thế giới còn nhầm lẫn nữa cơ mà.
Nhưng nay tình hình đã thay đổi. Phương pháp "Toán học mới" đã chính
thức phá sản. Chúng ta may mắn tiếp thu phương pháp toán học hình
thức khá muộn so với thế giới, nhưng sẽ không may mắn tí nào nếu
chúng ta tỉnh ngộ quá muộn so với sự tỉnh ngộ của thế giới.
Tiến
sĩ Phan Huy Điển, trong một bài in trên Nhân Dân đã viết "Một số
người làm cho nó (môn toán) ngày càng trở nên nặng nề, khó tiếp
thu". Theo tôi, đấy chính là hậu quả của nền "Toán học mới", với sự
đề cao thái quá các suy luận lắt léo đòi hỏi "trí khôn hơn người",
làm thui chột những tâm hồn vốn sẵn sàng hưởng ứng cái hấp dẫn chân
chính của toán học.
Tạp
chí New Scientist ngày 26-2-2000 lưu ý độc giả cần phân biệt "trust"
với "truth" (niềm tin và sự thật). Nếu một lý thuyết không được kiểm
nghiệm bằng sự thật (thực tiễn) thì nó chưa phải là khoa học, mà quá
lắm mới chỉ là một niềm tin mà thôi. Sự thất bại của "Toán học mới"
ở phương Tây cho thấy ý đồ đảo lộn hệ thống sư phạm chỉ là một "niềm
tin" hão huyền. Người Việt Nam chúng ta càng nhanh chóng ra khỏi sai
lầm của nền giáo dục toàn cầu này sớm chừng nào hay chừng ấy.
3.
Xu thế mới hiện nay
Tôi
chưa đủ tài liệu để đánh giá, nhưng sơ bộ nhận thấy có một sự mất
phương hướng. Có chỗ người ta chưa ra khỏi phương pháp cũ, có chỗ
lại đoạn tuyệt với cái cũ một cách không thương tiếc và có nguy cơ
lạc vào một hướng sai lầm của chủ nghĩa thực dụng thô thiển. Chẳng
hạn, có sự biến mất của Euclid trên các trang giáo khoa hình học ở
Australia, mà 15 năm trước đây từng được giới thiệu rất hệ thống.
Không thể hiểu nổi tại sao trong khi báo chí sách vở hiện nay ca
ngợi Einstein hết lời, kể rằng Albert Einstein từng gọi Hình học
Euclid là "cuốn sách hình học thiêng liêng" (the holy geomtry book)
(4), và phân tích rằng Thuyết tương đối của Einstein là sự kết hợp
của hình học không - thời gian với lý thuyết hấp dẫn (8), thì sách
giáo khoa lại làm biến mất Euclid. Người ta chỉ nhắc tới độc nhất
Định lý Pythagoras, và nhắc đi nhắc lại suốt từ lớp 7 đến lớp 12
(?). Phương pháp suy diễn (deduction) chỉ được bàn tới với tỷ lệ rất
nhỏ trong chương trình. Học sinh không hề biết đến Euclid, càng
không biết phương pháp tiên đề của Euclid, thậm chí không hề biết gì
về Tiên đề đường song song, mặc dù không thể thoát được bài tập đụng
đến tính chất song song. Có một loạt chuyện "kỳ lạ" khác mà tôi hy
vọng có dịp được trao đổi cụ thể với những tác giả viết sách giáo
khoa trong nước. Về sự biến mất của Euclid, có lẽ, vì người ta nhầm
tưởng Euclid là "thủ lĩnh" của chủ nghĩa hình thức, bởi lẽ ông là
người sáng tạo phương pháp tiên đề. Nay cần loại bỏ chủ nghĩa này
thì loại bỏ luôn vị "thủ lĩnh" cùng phương pháp tiên đề của ông.
Dường như Reuben Hersh đã đoán trước được những nhầm lẫn tai hại đó
nên đã mất công chứng minh hùng hồn rằng Euclid hoàn toàn khác
Hilbert trên góc độ thế giới quan. Euclid là con người duy vật 100%
khi đòi hỏi các hình họa cụ thể để mô tả các quan hệ logic suy diễn,
cái mà Hilbert không cần. Trong khi đó, Hilbert là đại diện điển
hình của chủ nghĩa duy tâm khoa học khi tin rằng tồn tại một hệ
thống khoa học logic suy diễn thuần túy thoát ly hoàn toàn thế giới
vật chất cụ thể. Việc giảm thiểu hoặc thậm chí loại bỏ Euclid là một
căn bệnh "ấu trĩ tả khuynh" phát sinh từ sự "dị ứng" với chủ nghĩa
hình thức. Có người không tán thành nhận xét này, mà quy kết ngược
lại rằng đó chính là biểu hiện của chủ nghĩa hình thức với sự đề cao
phương pháp giải tích trong hình học, xem thường phương pháp hình
học có hình. Sự quy kết này cũng rất có lý. Đằng nào thì sự tước bỏ
Euclid trong chương trình cũng là một sai lầm có nguồn gốc trực tiếp
hoặc gián tiếp từ sự bành trướng tai hại của chủ nghĩa hình thức.
Tóm lại, nền sư phạm toán học trước đây vốn đang phát triển ổn định
như một con lắc dao động nhẹ nhàng quanh vị trí cân bằng. Bỗng "Toán
học mới" hích rất mạnh làm con lắc dao động với biên độ lớn. Từ cực
hữu - chủ nghĩa hình thức toán học có nguy cơ nhảy sang cực tả - chủ
nghĩa thực dụng thô thiển.
5.
Kết luận
Bài
này không có mục đích đánh giá Hilbert. Không nên nhầm lẫn những
đóng góp vĩ đại của Hilbert cho toán học với chủ nghĩa hình thức
toán học mà Hilbert là "lãnh tụ". Ngay cả sự thất bại của Hilbert
đối với chương trình tiên đề hóa toàn bộ toán học cũng vẫn được
Gregory Chaitin ca ngợi là một "thất bại vinh quang, kỳ lạ" (a
tremendous, glorious failure!". Chaitin còn nhấn mạnh rằng phương
pháp của Hilbert có tầm quan trọng rất lớn đối với khoa học lập
trình, đối với việc tính toán bằng computer...".
Bài
này chỉ nhấn mạnh một ý: Việc áp dụng tràn lan phương pháp toán học
hình thức vào giáo dục là một việc làm phản sư phạm, dẫn đến hậu quả
thụt lùi trong việc dạy và học môn toán. Yếu tố quyết định làm cho
học sinh yêu thích hay chán ghét môn toán không nằm ở đâu khác, mà ở
chính trong tay các nhà sư phạm, trước hết là những người biên soạn
chương trình, sau đó là những người trực tiếp đưa chương trình đó
đến tay học sinh.
Không
có sự nghiệp nào vinh quang bằng sự nghiệp sư phạm trên con đường
dẫn dắt các thế hệ mai sau, và cũng không có sự nghiệp nào có trách
nhiệm nặng nề như sự nghiệp sư phạm trong việc đào tạo ra những nhân
tài tương lai của đất nước. Nhưng sự nghiệp ấy chỉ có thể thành công
khi ước muốn của các nhà sư phạm phù hợp với hiện thực.
Phạm Việt
Hưng
Chú
thích:
(1) Bài
viết gồm 4 tiểu mục chính và mục kết luận. Vì khuôn khổ tờ báo,
chúng tôi xin lược bỏ phần đầu - Lịch sử chủ nghĩa toán học hình
thức vì đi hơi sâu vào chuyên ngành, do vậy bài viết còn 4 phần
(TS).
(2) "What
is Mathematics, Really?" của Reuben Hersh, do Vintage xuất bản năm
1998 tại London, Anh.
(3) Bài báo
này tôi đã đọc năm 1995. Hiện không có trong tay. Chi tiết số liệu
trong bài toán có thể thiếu chính xác đôi chút, nhưng nội dung đã
nêu hoàn toàn không thay đổi so với nguyên gốc. Đã giới thiệu tóm
tắt trên Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục ở Hà Nội năm 1995.
(4) Xem
"Heisenberg Probably Slept Here" của Richard Brennan, J.Wiley &
Sons, Inc, xuất bản 1997
(5) Xem
"Can Physics Be Unified?" của Steven Weiberg trên Scientific
American tháng 12 năm 1999