Định nghĩa:
=
3,142592653589793238462643383279....

-
Số Pi là tên của chữ thứ 16
của mẫu tự Hy lạp. Nó được định nghĩa như một hằng
số , là tỷ số giữa chu vi vòng tròn với đường kính
của nó.
-
Tên pi do chữ peripheria (perijeria) có nghĩa là chu vi của vòng tròn.
-
Nhưng nó không có tên
chính xác, thường người ta gọi là , c, hay p
-
Chữ
được dùng vào khoảng giữa thế kỷ thứ 18, sau khi
Euler xuất bản cuốn chuyên luận phân tích năm
1748. Ý định dùng ký hiệu
là để tưởng nhớ đến những nhà Toán học Hy Lạp là
những người tìm ra đầu tiên con số gần đúng của
pi
-
Cuối thế kỷ thứ 20 số
đã
tính với độ chính xác tới con số thứ 200 tỉ (200
000 000 000)
-
11 tháng 9 năm 2000: con
số lẻ thứ một triệu tỉ (1.000.000.000.000.000) là
số không
Định nghĩa đơn giản nhất mà người ta cho con số
nổi tiếng này là: nó là tỷ số giữa diện tích dĩa
tròn và bình phương bán kính. Thí dụ, diện tích dĩa
tròn của hình bên đây bằng
lần diện tích của hình
vuông.
Người ta lại tìm thấy cũng con số ấy trong phép
tính chu vi của vòng tròn, bằng 2
lần bán kính
của nó. Cũng như Archimède đã nhận xét, con số đó
dùng cho hai phép tính này. Và cũng không gì đáng
ngạc nhiên nếu ta lại gặp cũng con số ấy đây đó:
*diện
tích của vành nằm giữa hai vòng tròn có bán kính
gần bằng nhau, có thể được tính bằng hai cách:
- Lấy diện tích dĩa tròn lớn trừ diện tích dĩa
tròn nhỏ
- Vì bán kính của hai vòng tròn gần bằng nhau nên
diện tích vành là tích số giữa chu vi của một trong
hai vòng tròn với chiều dày của vành.
Các phương pháp tính số Pi
Phép tính gần đúng:
Phương pháp cổ xưa nhất:
Vẽ một vòng tròn bán kính là 1
đơn vị và hai đa giác đều nội tiếp và ngoại tiếp của
vòng tròn.
Nếu đa giác đều đó là hình
vuông thì trĩ số chu vi hình tròn sẽ ở giữa chu vi
hình
vuông
nội tiếp và ngoại tiếp, nghĩa là trị số của Pi sẽ :
2
<
< 4
2,828
<
< 4
Tăng
số cạnh lên 6 ta có kết quả
khá hơn: 3 (Bởi vì cạnh hình lục giác bằng bán kính
vòng tròn) và 2 =
3,461...:
3<
<
2
3
<
< 3,461
Khi tính chu
vi các đa giác có hàng
ngàn cạnh, và chia kết quả
cho đường kính của vòng tròn, ta tìm được
giá trị
xấp xỉ chính xác nhất của
là 355/113
3
5
5
1
1
3
Con số dễ nhớ: là những số lẻ
đầu tiên, 2 con số 3, hai con số 5, hai con số 1 và
tổng số hai số của tử số và mẫu số chéo nhau sẽ bằng
6

Người
Babylone tính được con số
bằng cách so sánh chu
vi của một vòng tròn với đa giác nội tiếp trong vòng
tròn đó, bằng 3 lần đường kính vòng tròn. Họ tính
phỏng chừng:
= 3 + 1/8 (tức là 3,125)
Archimède đã dùng một đa giác có 96 cạnh, đã tính
được số phỏng chừng nhỏ hơn (inférieur) là 3 +
(10/71) = 3,1408... và số phỏng chừng lớn hơn
là 3 + (1/7) = 3,1429...
nghĩa là
3,1408...<
< 3,1429...
Để định giá trị của Pi, người ta có thể thử
vẽ một dĩa tròn và một hình vuông có cùng diện tích
bằng cách dùng thước và compas. Và cũng dùng
thước và compas, ta vẽ đoạn thẳng có chiều dài là
Pi, rồi suy ra trị số chính xác của số này.
Nhưng cách vẽ này không thể có được: Năm
1837, Pierre Wantzel chứng minh rằng người ta chỉ có
thể vẽ các đoạn thẳng bằng thước và compas khi chiều
dài là một số đại số, nghĩa là một đáp số từ một
phương trình đại số mà hệ số (coefficient) là những
số nguyên,
và năm 1882, Ferdinand von Lindermann chứng
minh rằng số Pi không phải là số đại số.
Số Pi được tìm thấy trong nhiều ngành toán khác:
*
Thí dụ khi ta đo góc, phải chọn một đơn vị bằng
cách tự ý định nguyên một vòng 360, thì với đơn vị
"độ" sẽ
có số đo là 1/360 vòng. Nếu ta dùng trị số
một vòng bằng 2 , thì đơn vị đo lường sẽ được gọi
là radian và có trị số bằng 1/(2 ). Đo góc bằng radian có nhiều
lợi thế hơn: thí dụ chiều dài một phần của vòng tròn
được giới hạn bởi góc a sẽ bằng ra khi
ta đo góc bằng radian, nhưng nếu đo bằng độ, sẽ
bằng (2 ra)/360
* Tương tự, tỉ số (sinx)/x tiến tới 1 khi x tiến
tới 0 nếu ta tính các góc bằng radian, nhưng sẽ
tiến tới 180/ nếu ta tính góc bằng độ.
* Cách dùng radian để đo góc suy ra được nhiều đặc
tính của số Pi, thí dụ theo định lý Euler thì
exponentiel của số phức 2i
thì bằng 1. Và cũng từ kết quả
việc dùng radian để tính góc, người ta tìm thấy số
Pi ở những nơi bất ngờ: thí dụ tổng số
vô hạn (dãy số Leibniz série
de Leibniz)
1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) - ... có trị số bằng
/4.
* Tích phân:

nghĩa là diện tích dưới
đường cong của phương trình f(x) = 1/(1+ x2)
giữa 0 và 1 cũng bằng
/4. Hai
kết quả này được giải nghĩa không mấy khó khăn vì
tiếp tuyến của góc
/4 bằng 1

Số Pi cũng xuất hiện trong trị số của tổng số
1 +
(1/22 ) + (1/32 ) + (1/42
) + ... bằng
/6
Những số lẻ của số Pi
Con số Pi tóm tắt một lịch sử về
toán học cổ xưa hơn 4000 năm bao trùm Hình học phân
tích hay Ðại số.
Các nhà Toán học đã hâm mộ nó từ thời Văn minh
Cổ-đại và đặc biệt những người Hy Lạp trong vấn đề
hình học.
Tri giá xưa nhất về con số Pi mà con người đã dùng
và đã được chứng nhận từ một tấm bảng
Về sau, những công trình nghiên cứu liên tục:
* Archimède tính được số Pi = 3,142 với độ chính xác
là 1/1000. Công thức là: 3 + 10/71 < Pi < 3 + 1/7
Người ta dùng phương pháp Archimède trong 2000 năm.
* Trong Thánh Kinh, khoảng 550 trước TC, đã giấu con
số này trong một câu văn ở một tấm bảng của người
Babylone cổ xưa (thuộc xứ Iraque)
có chữ hình góc (écriture cunéiforme), được khám
phá năm 1936 và tuổi của tấm bảng là 2000 năm trước
Thiên Chúa. Sau bao nhiêu bộ óc tò mò tìm kiếm mới
ra con số Pi = 3,141509
* Khoảng năm 1450, Al'Kashi tính con số Pi với 14
con số lẻ nhờ phương pháp đa giác của Archimède
Ðó là lần đầu tiên trong lịch sử nhân loại đã tìm
được con số Pi với trên 10 số lẻ.
* Năm 1609 Ludolph von Ceulen nhờ phương pháp của
Archimède, đã tính được con số Pi với 34 số lẻ mà
người ta đã khắc số này trên mộ bia của ông.
Không thể tính trị số chính xác
của số Pi.
Cuối thế kỷ
thứ 18,
Johann Heinrich Lambert (1728-1777) và
Adrien-Marie Legendre (1752-1833)
chứng minh rằng không có
một phân số nào để tính số Pi .
Thế kỷ thứ 19,
Lindemann chứng minh rằng số Pi không thể là
một nghiệm số của một phương trình đại số với hệ số
là số nguyên (thí dụ y = ax2 +bx + c mà
a, b, c là số nguyên)
* Kế tiếp Ludolph von Ceulen nhờ những công trình
nghiên cứu miệt mài của các nhà Toán học:
Newton (1643-1727)
Leibniz (1646-1716)
Grégory (1638-1675)
Các nhà khoa học
Euler (1707-1783), Gauss, Leibniz, Machin, Newton,
Viète
tìm kiếm những công thức để tính trị số xấp
xỉ của
cho chính xác. Và công thức giản dị nhất được
Leibniz tìm ra năm 1674 là:
/4 =
1 - 1/3 + 1/5 -
1/7 + ...
Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920)
Williams Shanks (1812-1882) đã tính năm 1874 với 707
số lẻ
Phải đợi đến thế kỷ thứ 18 và đầu thế kỷ thứ 20 thì
số Pi đã được tính với độ chính xác là 1000 số lẻ.
Năm 1995, Hyroyuki
Gotu đã chiếm kỷ lục thế giới
: tìm ra 42 195 con số lẻ.
Niềm đam mê
con số bí ẩn:
Một trăm số lẻ đầu tiên của Pi:
3,141 592 653 589 793 238 462 643
383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592
307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 0679 ...
Daniel Morin ghi 2000 số lẻ của
Pi trong trang
http://platon.lacitec.on.ca/~dmorin/divers/pi.html
100 000 số lẻ được ghi ở trang
của Yves Martin:
http://www.nombrepi.com/pi100000.html
Năm 1995 Yves Martin đã dùng máy
vi tính xách tay hiệu EPSON , vận tốc 10 MHz, cho
chạy chương trình PIF.EXE
viết
bằng ngôn ngữ Pascal, chạy trong 1 giờ 28 phút 33
giây để cho ra 130.000 con số lẻ của số Pi
Ngày 19 tháng 9 năm 1995 lúc 0 giờ 29 phút giờ địa
phương GMT-04, nhà Toán học Gia Nã Ðại Simon Plouffe
đã khám phá cùng với sự hợp tác của Peter Borwein và
David Bailey một công thức tính con số Pi đã làm đảo
lộn một số ý kiến về số Pi được tính từ trước đến
nay.
Công thức này được đặt tên là Công thức BBP cho phép
tính các số lẻ của Pi độc lập với nhau, mà mọi người
lúc bấy giờ tưởng là không thể tính các số lẻ một
cách độc lập được.
Fabrice Bellard tìm ra hôm thứ hai ngày 22 tháng 9
năm 1997 đã chiếm kỷ lục kiếm tới số lẻ thứ một ngàn
tỉ cho con số Pi nhờ công thức BBP của Plouffe và
nhờ tự nghiên cứu ra cách tính nhanh hơn.
Thứ ba tháng 2 năm 1999, Colin Percival đạt đến số lẻ thứ
bốn mươi ngàn tỉ bằng
cách dùng công thức của Bellard
11 tháng 9 năm 2000: con số
lẻ thứ một triệu tỉ là số không (zero): (một
triệu tỉ =1.000.000.000.000.000)
Bây giờ với máy tính chạy gấp mấy
ngàn lần nhanh hơn, nhưng số Pi chỉ được tính xấp xỉ mà thôi
bởi vì dãy số lẻ ấy vẫn chưa dừng lại.
|